Linear space (Algebra)

1.Definition
{V,P,+,*} satisfies the eight rules

2.dimension, base and coordinate

3.change of the base

relationship:
e1,e2, ..., en and e'1, e'2, ...,e'n are two group of bases,
e'1=a11*e1+a21*e2+...+an1*en
e'2=a12*e1+a22*e2+...+an2*en
....
e'n=a1n*e1+a2n*e2+...+ann*en

vector e=x1*e1+x2*e2+...+xn*en=x'1*e'1+x'2*e'2+...+x'n*e'n
=(e1,e2, ..., en )*X=(e'1, e'2, ...,e'n )*X'

then A=[a11, a12, ..., a1n; ...; an1, an2, ..., ann] is transition matrix (full rank)
coordinate: X=AX'
bases: (e'1, e'2, ...,e'n )=(e1,e2, ..., en )*A

4. linear subspace
key points: non-empty, closure
Th. equivalent vectors span the same subspace; them have the same rank
Th. Any m-dimensional subspace can extends to the whole n-dimensional space

5.Joint and Sum
definition of joint and sum
dimensional formula: D(V1)+D(V2)=D(V1+V2)+D(V1&V2) (proof)

6.Direct Sum
Every vector has Unique decomposition: a=a1+a2 where a1belongs to V1 and a2 belongs to V2
<==>Zero vector has unique decomposition
<==>V1&V2={0}
<==>if W=V1+V2, then D(W)=D(V1)+D(V2)

Always exists W, for U to make V=U Direct Sum W
The conception can be extended to multiple spaces.

8 同构**
向量与其坐标的对应实质是V 到 Pn的1-1对应。
同构：V到V'有一个1-1的映上的映射满足向量的可加性和数乘向量的均匀性。、
同构映射的逆和同构映射的乘积也是同构
同构是一种等价关系（反身，对称，传递）
P上任意n维线性空间都与Pn同构；P上任意两个n维线性空间都同构；P上两个有限维线性空间同构的充要条件是有相同维数
总之，同构的线性空间可以不加区别，维数是有限维线性空间的唯一本质特征。

二次型

1.二次型的矩阵表示
A，B合同：存在可逆矩阵C‘使B=C'AC
经过非退化的线性替换，新二次型与原二次型的矩阵是合同的。

2.标准型
任一个二次型经过非退化线性变换可以变成平方和的标准型；
变化既可以经过配方，也可以用对应的矩阵运算
（注意：配方主要是两个：1，a11不等于0；2.a11=0，但有aii不等于0，其中i>1
配方前后函数是相同函数，只不过采用不同变量符号，i.e.，f(X)=X'AX=Y'C'ACY=f(Y)）
3.唯一性
二次型的标准型中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所做的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩就称为二次型的秩；
二次型的标准型不唯一；
任意复（实）系数二次型可以变成规范型，且唯一；
正惯性系数，负惯性系数，符号差；

4.正定二次型
正定，负定，半正定，半负定，不定
非退化线性变化不改正定性；
实矩阵正定<==>与单位阵合同
正定矩阵行列式大于零；
正定二次型判别：顺序主子式全大于零；
半正定判别（略）

感想

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矩阵部分 一些知识回顾

1. 吉林大学国家精品课程 高等代数http://blog.sina.com.cn/s/blog_49ce771a01008dnq.html~type=v5_one&label=rela_nextarticle

3.9节有关于矩阵满秩分解的介绍: A=G*H

2.sylvester公式的证明

A is s*n matrix and B is n*m matrix, then rank(AB)>=r(A)+r(B)-n

Proof:
matirx C=
A 0
E B
has rank r(C)>=r(A)+r(B) (it can be proved by treating matrix as row vectors and using the definition of linear independence)

note that C has the same rank with D=
0 -AB
E 0
in fact, for full-rank matrix P and Q
P=[E, -A; 0,E] and Q=[E -B; 0 E], D=P*C*Q.

上面的网络教案中有利用满秩分解来证明的。

美国数学研究生基础课程

http://blog.sina.com.cn/s/blog_49ce771a01008dnq.html~type=v5_one&label=rela_nextarticle

高等代数的五种证明方法【转】

高代五种证明方法概说 【转帖】

五种高代方法概说一. 标准型方法:变换理论的两大方法之一。对于一个命题将它关联到一个变换理论,至于哪一种变换当然看命题里的量是否在该种变换下不变。其方法分两步,先对标准型验证或证明命题成立,再用变换将命题推广到(过渡到)一般情形。例子：1）正定矩阵有正定的平方根矩阵。2）任一矩阵有列满秩阵与行满秩阵的乘积分解.3）特征值互异的方阵Ａ,与Ａ交换的矩阵必然是Ａ的多项式。（它在相似变换下的标准型说法就是：当对角矩阵对角元素互相不同时，与它交换的矩阵只能是对角矩阵）二 不变量方法变换理论的两大方法之二。主要用于证明两个方阵可以或不可以相互变换。例如不相似、不合同,以及正定性判断,求特征值等。此外一些计算也常用不变量方法。例如行列式等于特征值乘积,例如线性方程组有解等价于两个秩相等。三 初等变换方法要点是左行右列四个字---行变换行组合是在左边乘上变换阵组合系数阵,而列变换列组合是在右边乘。例如:Ａ＋Ｂ＝Ｅｎ,则ＡＢ＝０当且仅当Ａ的秩加上Ｂ的秩等于ｎ。四 选基底方法高代中基底是表示线性(子)空间的方法。在教材中求极大无关组和求齐次线性方程组的基础解系都可理解为选基底。把矩阵相似对角化也可看成是选择由该矩阵的特征向量组成的基底。有两种应用:其一,计算维数或证明维数关系。选基底后维数、秩都成为基向量个数了,所以数一数个数就可以得到维数关系和秩关系。这个用法可概括成---选择基底使得维数、秩表示成了向量个数。其二,选择基底可以得到坐标化,例如线性变换对应到了方阵,而抽象向量表示成了一个列矩阵,线性泛函表示成了行矩阵。这样给出了方阵理论与线性变换理论相互转化的方法。通常这方面选基底的方法是要选出最好的基底以便得到最好的坐标化,这与标准型方法是统一的。例如：使得线性变换的矩阵是对角阵的基底正好是由线性变换的特征向量组成的基底。五 扰动方法主要用于从可逆方阵到不可逆方阵的过渡。原理是:对任何一个ｎ阶方阵Ａ, Ａ＋ｋＥ除了至多ｎ个数以外总是可逆的。所以一个公式如果对于可逆矩阵成立,且把可逆方阵代为Ａ＋ｋＥ时等式两边是ｋ的多项式,则可以令ｋ趋于０而得到对于不可逆方阵Ａ公式也成立。例如对于伴随矩阵公式 （ＰＱ）* = Ｐ＊Ｑ＊　的处理，可以用扰动法。具体的例子散见于论坛的各帖子中，或者搜索一下我发的所有帖子也可以。过段时间可能就会没时间来发帖子了，加上考研将近，希望这个帖子能对大家有些裨益。最后，将此帖送给听过我的课的学生们，希望他们考好。各种方法的帖子（仅限于有我本人所发帖子的主题，所用方法附后）：
http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=40569&hl=（初等变换与标准型方法）http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=39653&hl=（初等变换）http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=40572&hl=（选基底）http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=40564&hl=（初等变换）http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=40534&hl=（标准型）http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=40482&hl=（选基底）http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=40470&hl=（初等变换）http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=40112&hl=（分块对角化，一个有意思的中间结果，分块矩阵方法）
http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=40430&hl=（扰动法）http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=40240&hl=（可交换问题---可以归结为标准型方法，但是是有理标准型或者Frobenius型，candy_z君所提供的巧妙方法，问题由pagnini君提出）
http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=40396&hl=（选基底）http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=39881&hl=（选基底）http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=39506&hl=（扰动法，加法君的经典总结贴）http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=39058（标准型方法---问题是两个正规矩阵同时对角化，中间我有一个命题值得注意：与一个对角矩阵交换的所有矩阵是分块对角矩阵）
http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=40033&hl=（伴随矩阵的Jordan型，dinghy君提出的好问题）
http://www.math.org.cn/forums/index.php?showtopic=40513（秩1矩阵的总结，可认为是不变量方法）