二次型

1.二次型的矩阵表示
A，B合同：存在可逆矩阵C‘使B=C'AC
经过非退化的线性替换，新二次型与原二次型的矩阵是合同的。

2.标准型
任一个二次型经过非退化线性变换可以变成平方和的标准型；
变化既可以经过配方，也可以用对应的矩阵运算
（注意：配方主要是两个：1，a11不等于0；2.a11=0，但有aii不等于0，其中i>1
配方前后函数是相同函数，只不过采用不同变量符号，i.e.，f(X)=X'AX=Y'C'ACY=f(Y)）
3.唯一性
二次型的标准型中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所做的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩就称为二次型的秩；
二次型的标准型不唯一；
任意复（实）系数二次型可以变成规范型，且唯一；
正惯性系数，负惯性系数，符号差；

4.正定二次型
正定，负定，半正定，半负定，不定
非退化线性变化不改正定性；
实矩阵正定<==>与单位阵合同
正定矩阵行列式大于零；
正定二次型判别：顺序主子式全大于零；
半正定判别（略）