Linear Transformation

1.定义
变换：线性空间V到自身的映射
线性变换：A(.)称为线性的，if A(a+b)=A(a)+A(b) & A(k*a)=k*A(a)
线性变换保持线性组合和线性关系不变；
线性变化把线性相关的向量组变成线性相关的向量组
反之不一定成立，可能把无关的也映成相关的。

2.线性变换的运算
线性变换的乘积也是线性变换，且满足结合律，但一般不满足交换律；
线性变换的和也是线性变换，且满足结合律和交换；
左右分配律：A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA
V上的全体线性变换加上加法和数量乘法，构成P上的一个线性空间。
线性变换的多项式f(A)是线性变换，同一线性变换多项式乘法可交换。

3.线性变换的矩阵
Th.1 e1,e2,...,en是线性空间V的一组基，a1,a2,...,an是其中任意n个向量。存在唯一的线性变换A使
A(ei)=ai, i=1,2,...,n
唯一性：线性变换被它在一组基上的作用唯一决定；
存在性：存在线性变换把一组基映射成任意一组向量；

线性变换A与其在一组基下矩阵A的关系：
定义：A(e1,e2,...,en)=(Ae1,Ae2,...,Aen)=(e1,e2,...,en)A

Th2. 线性变换A与其在一组基e1,e2,...,en下对应的n*n矩阵A，
线性变换的和对应矩阵的和；
线性变换乘积对应矩阵的乘积；
线性变换的数乘对应矩阵的数乘；
线性变换的逆对应矩阵的逆（如果存在）
Th3. 向量e的坐标是X，则Ae的坐标是Y=AX
Th4. 变换A在两组基1，2下矩阵分别为A和B，且1到2的过渡矩阵是X，则B=X^(-1)AX
定义： AB相似：存在可逆矩阵X使得B=X^(-1)AX
--------------------summery - 等价关系---------
合同-二次型，等价-向量组，相似-线性变换的矩阵，同构-线性空间
--------------------------------------------------
Th5. 相似矩阵可看作同一线性变换在不同基下的对应
B1=X^(-1)A1X B2=X^(-1)A2X ，then
B1+B2=X^(-1)（A1+A2）X，B1B2=X^(-1)（A1A2）X
此性质和用于矩阵化简。

4.特征值和特征向量
特征向量：Ae=入e, 非零，不唯一
特征值被特征向量唯一决定
如何求特征值和特征向量（略）
特征多项式：全体特征值的和：a11+a22+...+ann；全体特征值的积：A
相似的矩阵有相同的特征多项式
Hamilton-Caylay Theorem: characteristic polynomial f of A satisfies that f(A)=0

5.对角阵
Th7. n*n矩阵A在某组基下是对角型 等价于 A有n个线性无关特征向量
Th8. 属于不同特征值的特征向量线性无关
如果A有n个不同特征值，则A在某组基下是对角形
在复数域，A的特征多项式没有重根，则A在某组基下是对角形

注意：如果特征值都不同，则A一定可以在某组基下是对角形；如果有相同特征值，就要看特征子空间的维数：
Th9. 属于不同特征值的线性无关的特征向量彼此线性无关；
性质：线性变换A在某组基下成对角行的充要条件是A的不同特征值对应的特征子空间的维数之和
等于空间的维数

6.线性变换的值域和核
值域AV：全体象的集合； 核A-1（0）：映射成零向量的集合
值域和核都是V的子空间
值域的维数称为线性变换A的秩，核的维数称为A的零度
Th10.
1.值域是由基向组生成的子空间
2.线性变换和其矩阵的秩相同
Th11. n维空间中线性变换A： A的秩+A的零度=n
推论：对于有限维线性空间的线性变换，单射与满射等价

7.不变子空间
V的子空间W中向量在A下的象仍在W中
全空间和零子空间是A-子空间
A值域和核是A-子空间，与A可交换的B值域和核也是A-子空间
属于特征值入0的特征子空间是A不变子空间。
不变子空间和线性变换矩阵化简的关系：
1.A=【A1,A2；0，A3】，A1是AW在W的基下的矩阵；
2.矩阵分解为准对角阵与空间分解为不变子空间的直和是相当的

8.若当标准型

9.最小多项式
数域P上n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积